舞台灯是舞台表演中至关重要的元素，可要是灯频繁故障维修，这表演效果和成本可就成问题！今天就来深入聊聊这种正六棱柱舞台灯的维修概率与费用问题。

问题背景介绍

这种独特外形的舞台灯，呈正六棱柱状，每一个侧面都安装了 5 只颜色各异的彩灯。这些彩灯就像舞台的“小精灵”，为表演增添绚丽色彩。不过麻烦也来了，每只灯正常发光的概率只有 0.5，这意味着故障随时可能发生，一旦一个侧面发光的灯少于 3 只，这个面就得更换，而更换一个面要花 100 元。

单一面更换概率

先看看①号面需要更换的概率。根据概率计算方法，一个面有 5 只灯，正常发光概率为 0.5。要计算这个面少于 3 只灯发光的概率，也就是 0 只、1 只、2 只灯发光的概率之和。运用组合数公式 \(C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}\) 来算，就是 \(C_{5}^0\times(0.5)^0\times(0.5)^5 C_{5}^1\times(0.5)^1\times(0.5)^4 C_{5}^2\times(0.5)^2\times(0.5)^3\)，经过一番计算，得出这个概率为 \(\frac{1}{2}\) 。

特定面数更换概率

接下来是求 6 个面中恰好有 2 个面需要更换的概率。这相当于进行了 6 次独立的试验，每次试验成功（面需要更换）的概率是前面算出的 \(\frac{1}{2}\) 。利用二项分布公式 \(P(X = k)=C_{n}^k\times p^k\times(1 - p)^{n - k}\) ，这里 \(n = 6\) ，\(k = 2\) ，\(p=\frac{1}{2}\) ，计算过程是 \(C_{6}^2\times(\frac{1}{2})^2\times(1-\frac{1}{2})^{6 - 2}\) ，得出这个概率约为 0.234 。这个概率表明在大量这样的舞台灯使用中，大约每 100 个舞台灯里就有 23 个左右是恰好 2 个面需要更换的。

费用变量的分布列

用 \(\xi\) 表示更换费用，\(\xi\) 可能取值为 0、100、200、300、400、500、600 元，分别对应更换 0 个、1 个、2 个、3 个、4 个、5 个、6 个面。分别计算每个取值的概率，如更换 0 个面的概率 \(P(\xi = 0)=C_{6}^0\times(\frac{1}{2})^0\times(1-\frac{1}{2})^{6}\) ，更换 1 个面的概率 \(P(\xi = 100)=C_{6}^1\times(\frac{1}{2})^1\times(1-\frac{1}{2})^{5}\) ，依次类推。得出各概率后，就能列出分布列，从分布列里能清晰看到不同费用出现的可能性大小。

数学期望计算

有了分布列，就能计算 \(\xi\) 的数学期望 \(E\xi\) 。数学期望反映了长期平均更换费用。根据公式 \(E\xi=\sum_{i}x_{i}P(X = x_{i})\) ，把分布列里每个费用值乘以对应的概率再相加，也就是 \(0\times P(\xi = 0) 100\times P(\xi = 100) 200\times P(\xi = 200) 300\times P(\xi = 300) 400\times P(\xi = 400) 500\times P(\xi = 500) 600\times P(\xi = 600)\) ，计算后得到的结果就是长期来看平均每次更换需要花费的金额。经过计算，这个舞台灯平均每次更换面的费用能预估出来，方便相关人员提前做好经费准备。

实际影响分析

这些概率和费用计算结果对舞台使用方和舞台灯生产商都至关重要。使用方需要根据这些数据预估维修成本，合理安排预算。而生产商也能通过分析这些数据，改进产品质量，提高灯泡正常发光概率，减少维修情况，提升产品竞争力和用户满意度。比如，若发现频繁维修导致成本过高，生产商就可以研发新的灯泡或改进安装工艺。

你觉得在实际中还有哪些因素会影响这些舞台灯的维修概率？要是有想法，欢迎在评论区留言分享，也别忘了给文章点赞和分享！